空间向量极坐标与导数计算单元测验选择题每题4分共40分
内容
空间向量、极坐标与导数计算单元测验一、选择题（每题4分，共40分）
1．柱坐标对应的点的直角坐标为A. B. C. D.
2．已知直线与曲线切于点（1，3），则b的值为
A．3 B．－3 C．5 D．－5
3．已知 ，且与互相垂直，则k的值是A. 1 B. C. D.
4． 在同一坐标系中，将曲线y ＝ 2sin3x变为曲线y＝sinx的伸缩变换是
A． B. C. D.
5. 在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是A．3 B．2 C．1 D．0
6．若与在上都是减函数，对函数的单调性描述正确的是A. 在上是增函数 B. 在上是增函数C. 在上是减函数 D. 在上是增函数，在上是减函数
7．极坐标系内曲线上的动点P到定点Q的最近距离等于A. B. C.1 D. 8．已知函数的图象如右图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是
9．已知，，则的值为（ ）
A、－4 B、0 C、4 D、8
10．若OA、OB、OC两两垂直，则下列各式中不成立的是A．
B．
C．
D． 请将选择题答案填在下列表格内：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
二、填空题（每题4分，共16分）
11．若直线的极坐标方程为则极点到这条直线的距离是 .12．在空间直角坐标系中，已知A（110） B（213） C（ 2 1 1），点A在直线BC上的射影点为E，则点E的坐标为 .13．过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 ．14．三棱锥OABC中 OA＝8AB＝6BC＝5AC＝4（OAC＝45（（BAO＝60（则异面直线OA与BC所成角的余弦值为 .三、解答题（共44分）
15．（本题共10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系。设椭圆的长轴长为10，中心为（30） 一个焦点在直角坐标原点.（1）求椭圆的直角坐标方程，并把它化为极坐标方程；
（2）当椭圆的过直角坐标原点的弦的长度为时，求弦所在直线的直角坐标方程.16．（本题共10分）如图1，已知ABCD是上．下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2.（Ⅰ）证明：AC⊥BO1；
（Ⅱ）求二面角O－AC－O1的余弦值.17．（本题共12分）在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，（ACB＝90（，侧棱AA1＝2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是（ABD的重心。
求底面等腰三角形的腰长；
求A1B与平面ABD所成角的大小；
求点A1到平面AED的距离.18．（本题共12分）定义F（xy）＝（1＋x）y xy （ （0＋（）.
（1）令函数f（x）＝F[1log2（x3 – 3x ）]的图象为曲线C1，求与直线4x＋15y3＝0垂直的曲线C1的切线方程；
（2）令函数g（x）＝F[1log2（x3 ＋ax2＋bx＋1 ）]的图象为曲线C2，若存在实数b使得曲线C2在点P（x0，y0）处切线的斜率为8，x0 （ （14） 求实数a的取值范围；
（3）当xy （ N＊且x＆lty时，证明：F（xy）＆gtF（yx）.
（注：解答做在背面）参考解答1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
A
D
B
D
C
A
C
A
C
11．
12．（）13．（1 e）； e
14．
15．解 （1）设椭圆的长半轴短半轴半焦距分别为abc
则a＝ 5 c ＝3所以b ＝ 4
所求椭圆可以看作是由椭圆向右平移3个单位得到
故所求椭圆的直角坐标方程为
代入x＝ （cos（ y＝（sin（ 得（2） 设过坐标原点的弦的倾斜角为（ 弦的两个端点分别P1（（1 （） P2（（2 （＋（）有
由于（1＋（2 ＝ 所以＋＝ （ cos（ ＝
∴（ ＝∴所求直线的直角坐标方程为y ＝ 16．解（I）证明 由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1.
所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，
即OA⊥OB. 故可以O为原点，OA、OB、OO1
所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
如图3，则相关各点的坐标是A（3，0，0），
B（0，3，0），C（0，1，）O1（0，0，）.
从而
所以AC⊥BO1.
（II）因为所以BO1⊥OC，
由（I）AC⊥BO1，所以BO1⊥平面OAC，是平面OAC的一个法向量.
设是0平面O1AC的一个法向量，
由 得.
设二面角O—AC—O1的大小为，由、的方向可知，＆gt，
所以cos，＆gt＝17. 解 以C为原点射线CA、CB、CC1分别为x y z的非负半轴建立空间直角坐标系Cxyz设底面等腰三角形的腰长为a，则A（a 0 0） B（0a0） D（0 0 1） A1（a02）（1） ∵G是三角形ABD的重心，所以G（aa） 又E（a a 1）
∴ 又
∴由EG⊥平面ABD （ EG⊥AD （ （ （ a＝2
故底面等腰三角形的腰长为2.（2） G（） 又E（1 1 1） ∴GE ＝ 又B（0，2，0）， ∴BE＝
设A1B与平面ABD所成角为（ ，则sin（ ＝ （ （ ＝arcsin
故A1B与平面ABD所成角为arcsin（3） 设平面AED的一个法向量为
∵
∴
∴ 取x ＝1，得又
∴A1到平面AED的距离d ＝ ＝18.解 （1） f（x） ＝ 由log2（x3 – 3x）＆gt0 （ x3 – 3x＆gt1 设此不等式解集为A，则函数f（x）定义域为A设所求切线的切点坐标为（x0y0）则K切线＝ ＝ （ x02 ＝ （ 代入x3 – 3x＆gt1检验符合要求，于是f（x0） ＝ 故所求切线方程为y –＝ （x ＋） 即15x – 4y ＋27 ＝ 0（2） g（x） ＝
由log2（x3 ＋ax2＋bx＋1）＆gt0 （ x3 ＋ax2＋bx＆gt0 设此不等式解集为B，则函数g（x）定义域为B∵∴存在实数b 使得3x02＋2ax0＋b ＝ 8在x0 （ （14）有解.又x03 ＋ax02＋bx0＆gt0消去b得2x02＋ax0＋8＆lt0 （ a ＆gt2（x0＋）此不等式在x0 （ （14）上有解令h（x0）＝ 2（x0＋），容易知道此函数在x0 （ （14）上的值域为∴a ＆gt 8 （ a ＆lt 8， 即实数a的取值范围是（（ 8）（3） 要证F（x y） ＆gtF（y x），只要证 （1＋x）y ＆gt （1＋y）x即证 yln（1＋x） ＆gt xln（1＋y） 又x＆gt0 y＆gt0所以只需证令（（t） ＝ （t≥1） ∵ 在t≥2时， ，∴此时∴在上单调递减，又（（2） （（1） ＝ ∴数列{（（n）}单调递减∵x y （ N＊且x＆lty，∴（（x） ＆gt（（y） 即.∴F（x y） ＆gtF（y x）
